20 Soal OSN Matematika SMA Tahun 2026 dan Kunci Jawaban Olimpiade Sains Nasional

4. Di dalam suatu ruangan, terdapat 12 kursi yang disusun dalam tiga baris, sehingga baris pertama memuat 3 kursi, baris kedua memuat 4 kursi dan baris terakhir memuat 5 kursi. Dua belas siswa, termasuk Aska dan Budi, akan menempati kursi-kursi tersebut. Jika banyaknya cara mereka menempati kursi sehingga Aska dan Budi duduk di baris pertama adalah A, maka A/10! = ...

Kunci Jawaban: 6

5. Diketahui segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku dengan luas 28. Misalkan R dan r berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam dari segitiga ABC. Jika R + r = 8, maka panjang sisi miring dari ABC adalah ...

Kunci Jawaban: 12

6. Misalkan A adalah himpunan semua bilangan 8-digit yang digit-digitnya adalah 1,2, atau 3 dan memuat paling sedikit satu digit 2. Banyaknya bilangan N di A sehingga setiap digit 2 di N diapit oleh digit 1 dan 3 adalah ...

Kunci Jawaban: 480

7. (a) Tentukan suatu bilangan asli n sehingga n(n + 2022) + 2 merupakan bilangan kuadrat sempurna.

(b) Tentukan semua bilangan asli a sehingga untuk setiap bilangan asli n, bilangan n(n + a) + 2 tidak pernah merupakan suatu kuadrat sempurna.

Kunci Jawaban: 

a. 1

b. 3

8. Pada papan tertulis mula-mula terdapat 22 angka 1, 2, 3, . . . , 21, 22. Satu langkah adalah prosedur memilih dua angka a, b pada papan dengan b ≥ a + 2, kemudian menghapus a dan b dan menggantikannya dengan a+1 dan b−1. Tentukan banyaknya langkah maksimum yang mungkin dapat dilakukan.

Kunci Jawaban: 770

9. Seluruh bilangan bulat diwarnai dengan warna merah, biru, atau jingga. Setiap bilangan diberi tepat satu warna, dan ketiga warna terpakai. Pewarnaan terkait juga memenuhi aturan ini:

• Penambahan sebuah bilangan merah dan sebuah bilangan jingga menghasilkan bilangan biru
• Penambahan sebuah bilangan jingga dan sebuah bilangan biru menghasilkan bilangan jingga, dan
• Penambahan sebuah bilangan biru dan sebuah bilangan merah menghasilkan bilangan merah.

(a) Buktikan bahwa 0 dan 1 pasti mempunyai warna yang berbeda.